2003年 ジュニア数学オリンピック 過去問

はい。
https://www.imojp.org/archive/challenge/old/jjmo1q.html

1.

2,3番目の割り算も両辺？に10や100を掛けると÷31に形になる。左辺が纏められる。31で割り算しやすい数になります。よし。

2.

x,y,xのような3つの数を求めるのにそれぞれが1回ずつ出現しないような3つの式が与えられているときには、1つを x=y+n などに変えて代入すると連立方程式のペアが出来るはず。その後は3つ全て求められます。

3.

はい。ペイントの都合により長方形です。長方形も平行四辺形です。
DS/SRを求めます。
DS/SRはTU/UPと等しいです、多分。頂点Aと底辺TPか底辺DRが平行なので。
TU/UPはAT/PQと等しいです、多分。三角形UATと三角形UQPが相似の関係なので。
AT/PQとBP/PQは等しいです、多分。辺ATと辺BPは平行四辺形ATPBの向かい合う辺なので。
BPはPQ既に問題文で長さが与えられています。よってDS/SRが求められます。

4.

ある頂点の選び方は4通り。とりあえず仮にAをスタートとするとAからB,C,Dの移動先が3通り。仮にBに進んだとするとC,Dを移動先にしてAに戻る2通りで全部求められます、多分。

5.

正の約数が奇数個になるものは平方数の時だけらしいです。 1x1は1で約数1で1個。2x2は約数1,2,4で3個。 ... 6x6は約数1,2,3,4,6,9,12,18,36で9個。
44x44が1936で、45x45が2025なので1から2003までの間には44個の奇数個のものあるのでそれで求められます。
約数の個数を求めるのは素因数分解して、それらの指数をほにゃららします。それだけだと奇数個、偶数個が個人的はイメージが繋がりませんでした。ですけど約数には必ずペアとなる数があるのでその性質からすると約数も偶数個になると考えられる気がします。平方数の場合には1組だけ自身がペアになるのでそれによって奇数個になります。なるほど。
例
24の約数 1,2,3,4,6,8,12,24 で、ペアは (1,24) (2,12) (3,8) (4,6) 8個で偶数個。
36の約数 1,2,3,6,12,18,36 で、ペアは(1,36) (2,18) (3,12) (4,9) (6) 9個で奇数個。